\subsection{代数式的值}\label{subsec:2-2}

\begin{enhancedline}

我们知道， 底是 $a$ 厘米， 高是 $h$ 厘米的三角形的面积， 可用代数式
$$ \dfrac{1}{2}ah \text{(平方厘米)} $$
来表示。现在，我们根据这个代数式来计算下面三个三角形的面积（图 \ref{fig:2-3}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch2-3}
    \caption{}\label{fig:2-3}
\end{figure}

在 （1） 中，$a = 3$，$h = 2$，
$$ \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 ; $$

在 （2） 中，$a = 3\dfrac{1}{2}$，$h = 2\dfrac{1}{4}$，
$$ \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \times 3\dfrac{1}{2} \times 2\dfrac{1}{4} = 3\dfrac{15}{16} ; $$

在 （3） 中，$a = 3.8$，$h = 1.9$，
$$ \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \times 3.8 \times 1.9 = 3.61 \juhao $$

所以，三个三角形的面积分别是 3 平方厘米， $3\dfrac{15}{16}$ 平方厘米和 3.61 平方厘米。

用数值代替代数式里的字母， 计算后所得的结果，叫做\zhongdian{代数式的值}。

从上面的例子中可以看到， 改变字母 $a$，$h$ 所取的值时， 代数式 $\dfrac{1}{2}ah$ 的值也就随着改变。
因此， 代数式的值是由代数式里字母所取的值确定的。



代数式里的字母， 虽然可以取各种不同的数值， 但是这些数值不应当使代数式和它所表示的实际数量失掉意义。
例如，上例中的代数式 $\dfrac{1}{2}ah$， 由于它所表示的是三角形的面积， 所以 $a$ 和 $h$ 都不能取负数或者零。
又如， 在代数式 $\dfrac{12}{x}$ 里， 因为零不能做除数， 所以 $x$ 不能取零。

\begin{wrapfigure}[10]{r}{8cm}
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch2-4}
    \caption{}\label{fig:2-4}
\end{wrapfigure}

\liti 根据下面所给的值， 求代数式 $-2x + 5$ 的值：

\threeInLine[6em]{（1）$x=4$；}{（2）$x = 0$；}{（3）$x = -5$。}


\jie （1）当 $x = 4$ 时，

\hspace*{2em} $-2x + 5 = -2 \times 4 + 5 = -3$；

（2）当 $x = 0$ 时，

\hspace*{2em} $-2x + 5 = -2 \times 0 + 5 = 5$；

（3）当 $x = -5$ 时，

\hspace*{2em} $-2x + 5 = -2 \times (-5) + 5 = 15$。

从 例 1 可以看出，当我们给 $x$ 一个值， 代数式 $-2x + 5$ 就取得一个确定的值（图 \ref{fig:2-4}）。



\lianxi

填表：

\begin{table}[H]
\begin{tblr}{
    hlines, vlines,
    cells={5em, c, $$},
}
    x       & -2  &  -1 & 0   & 1 & 2 \\
    4x - 5  & -13 &     &     &   &   \\
    x^2 + 2 &     &     & 2   &   &
\end{tblr}
\end{table}

\lianxijiange

\liti 求 $a = -2$ 时，代数式 $2a^3 - \dfrac{1}{2}a^2 + 3$ 的值。

\jie 当  $a = -2$ 时，

\hspace*{2em} $\begin{aligned}
    2a^3 - \dfrac{1}{2}a^2 + 3 &= 2 \times (-2)^3 - \dfrac{1}{2} \times (-2)^2 + 3 \\
        &= -16 - 2 + 3 \\
        &= -15 \juhao
\end{aligned}$

\liti 当 $x = \dfrac{1}{2}$，$y = -2$  时，求下列代数式的值：

\twoInLine{（1）$2x^2 - y + 3$；}{（2）$\dfrac{4x - 2y}{xy}$。}

\jie （1）当 $x = \dfrac{1}{2}$，$y = -2$  时，

\hspace*{2em} $\begin{aligned}
    2x^2 - y + 3 &= 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - (-2) + 3 \\
        &= 5\dfrac{1}{2};
\end{aligned}$

（2）当 $x = \dfrac{1}{2}$，$y = -2$  时，

\hspace*{2em} $\begin{aligned}
    \dfrac{4x - 2y}{xy} &= \dfrac{4 \times \dfrac{1}{2} - 2 \times (-2)}{\dfrac{1}{2} \times (-2)} \\
        &= \dfrac{2 + 4}{-1} \\
        &= -6 \juhao
\end{aligned}$


\liti 当 （1）$x = -5$，$y = 3$ 时；（2）$x = 5$，$y = -3$ 时，求代数式
$$ |x| + |y| - 2|x| \cdot |y| $$
的值。

\jie （1）$x = -5$，$y = 3$ 时,

\hspace*{2em} $\begin{aligned}
    |x| + |y| - 2|x| \cdot |y| &= |-5| + |3| - 2 |-5| \cdot |3| \\
        &= 5 + 3 - 2 \times 5 \times 3 \\
        &= -22;
\end{aligned}$

（2）$x = -5$，$y = 3$ 时；

\hspace*{2em} $\begin{aligned}
    |x| + |y| - 2|x| \cdot |y| &= |5| + |-3| - 2 |5| \cdot |-3| \\
        &= 5 + 3 - 2 \times 5 \times 3 \\
        &= -22 \juhao
\end{aligned}$


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{求 $x = -2$ 时， 代数式 $x^3 - 3x^2 + 2x + 7$ 的值。}

\xiaoti{当 $x = -3$，$y = 4$ 时，求代数式 $x^2 + 3xy - y^2 -5$ 的值。}

\xiaoti{求 $a = 2$，$b = -1$，  $c = -1\dfrac{1}{2}$ 时，下列各代数式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt{$a^2 - b^2 + 2bc$；}{$\dfrac{2c}{a + b}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{当  $x = \dfrac{1}{2}$，$y = -2$ 时，求下列各代数式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt{$|x| + 3|y|$；}{$|x + 3y|$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
\lianxijiange

\begin{wrapfigure}[5]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch2-5}
    \caption{}\label{fig:2-5}
\end{wrapfigure}

\liti 图 \ref{fig:2-5} 中的渠道横断面是梯形， 用代数式表示它的面积， 并计算当
$a = 2.8$， $b = 0.8$， $h = 1$ （单位：米） 时， 渠道横断面的面积。

\jie 因为渠道的横断面是梯形， 它的两底分别是 $a$， $b$， 高是 $h$， 所以， 表示渠道横断面面积的代数式是
$$ \dfrac{1}{2} (a + b) h \juhao $$

当 $a = 2.8$， $b = 0.8$， $h = 1$ 时，

\hspace*{2em} $\begin{aligned}
    \dfrac{1}{2} (a + b) h & = \dfrac{1}{2} (2.8 + 0.8) \times 1 \\
        &= \dfrac{1}{2} \times 3.6 \times 1 \\
        &= 1.8 \juhao
\end{aligned}$

答：当 $a = 2.8$， $b = 0.8$， $h = 1$ （单位：米） 时， 渠道横断面的面积 1.8 平方米。

\liti 工人师傅为了便于计算， 常把圆柱形钢管堆成如图 \ref{fig:2-6}（1） 的形状， 下面一层比上面一层多放一根。
只要数出顶层的根数 $a$， 底层的根数 $b$ 和层数 $n$，就可用公式  $\dfrac{n(a + b)}{2}$ 算出这堆钢管的根数。
计算当 $n = 6$，$a = 4$，$b = 9$ 时， 这堆钢管的根数。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch2-6}
    \caption{}\label{fig:2-6}
\end{figure}

\jie 当 $n = 6$，$a = 4$，$b = 9$ 时，

\hspace*{2em} $\dfrac{n(a + b)}{2} = \dfrac{6 \times (4 + 9)}{2} = 39$。

答： 当 $n = 6$，$a = 4$，$b = 9$ 时，有 39 根钢管。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{如图，堤坝的横截面是梯形，用代数式表示它的面积，
    并计算 $a = 2$，$b = 13$，$h = 3$ （单位： 米） 叶，堤坝的横截面的面积。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch2-subsec2-lianxi-1}
    \caption*{（第 1 题）}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch2-subsec2-lianxi-2}
    \caption*{（第 2 题）}
\end{figure}

\xiaoti{有一种放铅笔的 $V$ 形槽如图所示， 第一层放 1 支， 第二层放 2 支， 依次每层增放1 支。
    只要数一数顶层的支数 $n$， 就可用公式 $\dfrac{n (n + 1)}{2}$ 算出槽内铅笔的支数.
    分别计算当 $n = 6$，$n = 11$ 时， 槽内铅笔的支数。
}


\end{xiaotis}

\end{enhancedline}

